2011年普通高等学校招生全国统一模拟考试数学卷(海南.理)含详解



2011 年普通高等学校招生全国统一模拟考试(海南卷) 数学(理工农医类)
第I卷 一, 选择题: (本大题共 12 题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中 ,中有一项是符 合题目要求的。 (
  1) 已知集合 A = 1,3,5,7,9} , B = {0,3, 6,9,12} ,则 A I CN B = (A) (C)
{
{1,5, 7} {1,3,9} {
3 + 2i 3 ? 2i ? = 2 ? 3i 2 + 3i
(B)2
(B) (D)
{3,5, 7} {1, 2,3}
解析:易有 A ∩ CN B = 1,5, 7} ,选 A (
  2) 复数 (A)0 解析:
(C)-2i
(D)2
3 + 2i 3 ? 2i ( 3 + 2i )( 2 + 3i ) ( 3 ? 2i )( 2 ? 3i ) 26i ? = ? = = 2i ,选 D 2 ? 3i 2 + 3i 13 13 13

  3)对变量 x, y 有观测数据理力争( x1 , y1 ) (i=1,2,…,
  10) ,得散点图
  1;对变量 u ,v 有 观测数据( u1 , v1 ) (i=1,2,…,
  10),得散点图
  2. 由这两个散点图可以判断。
(A)变量 x 与 y 正相关,u 与 v 正相关 (B)变量 x 与 y 正相关,u 与 v 负相关 (C)变量 x 与 y 负相关,u 与 v 正相关 (D)变量 x 与 y 负相关,u 与 v 负相关 解析:由这两个散点图可以判断,变量 x 与 y 负相关,u 与 v 正相关,选 C
x2 y 2 (
  4)双曲线 =1 的焦点到渐近线的距离为 4 12
(A) 2 3 (B)2 (C) 3 (D)1
解析:双曲线
x2 y 2 =1 的焦点(4,
  0)到渐近线 y = 3 x 的距离为 d = 4 12
x 1 2 x + cos = 2 2 2

  3×4?0 2
= 2 3 ,选 A

  5)有四个关于三角函数的命题:
p1 : ? x∈ R, sin 2
p2 : ? x、y ∈ R, sin(x-y)=sinx-siny p4 : sinx=cosy ? x+y=
p3 : ? x ∈ [ 0, π ] ,
其中假命题的是 (A) p1 , p4
1 ? cos 2 x =sinx 2
π
2
(B) p2 , p4
2

  3) p1 , p3

  4) p2 , p4
解析: p1 : ? x ∈ R, sin
x 1 2 x + cos = 是假命题; p2 是真命题,如 x=y=0 时成立; p3 是真 2 2 2
命题,∵ ? x ∈ [ 0, π ] , sin x ≥
  0, ∴
1 ? cos 2 x = sin 2 x = sin x = sin x =sinx; p4 是假命题, 2
如x=
π
2
,y=2π 时,sinx=cosy,但x+y ≠
π
2
。选 A.
?2 x + y ≥ 4 ? (
  6)设 x,y 满足 ? x ? y ≥ ?1, 则z = x + y ?x ? 2 y ≤ 2 ?
(A)有最小值
  2,最大值 3 (C)有最大值
  3,无最小值 (B)有最小值
  2,无最大值 (D)既无最小值,也无最大值
解析:画出可行域可知,当 z = x + y 过点(
  2,
  0)时, zmin = 2 ,但无最大值。选 B. (
  7)等比数列 {an } 的前 n 项和为 sn ,且 4 a1 ,2 a2 , a3 成等差数列。若 a1 =
  1,则 s4 = (A)7 (B)8 解 析 : (
  3)15 (
  4)16

4
a1

2
a2

a3






∴ 4a1 + a3 = 4a2 , 即4a1 + a1q 2 = 4a1q,∴ q 2 ? 4q + 4 = 0,∴ q =
  2,S4 = 15 ,选 C.

  8) 如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱线长为
  1,线段 B1 D1 上有 两个动点 E,F,且 EF = (A) AC ⊥ BE (B) EF / / 平面ABCD (C)三棱锥 A ? BEF 的体积为定值
2 ,则下列结论中错误的是 2
(D)异面直线 AE , BF 所成的角为定值 解 析 : A 正 确 , 易 证 AC ⊥ 平面D1 DBB
  1,从而AC ⊥ BE ; B 显 然 正 确 ,
∵ EF / / BD,∴ EF / / 平面ABCD易证 ;C 正确,可用等积法求得;D 错误。选 D.

  9)已知 O,N,P 在 ?ABC 所在平面内,且 OA = OB = OC , NA + NB + NC = 0 ,且
PA ? PB = PB ? PC = PC ? PA ,则点 O,N,P 依次是 ?ABC 的
(A)重心 外心 垂心 (B)重心 外心 内心 (C)外心 重心 垂心 (D)外心 重心 内心 (注:三角形的三条高线交于一点,此点为三角型的垂心) 解 析

由 OA = OB = OC 知, O为?ABC的外心; NA + NB + NC = 0知,O为?ABC的重心 ; 由
∵ PA ? PB = PB ? PC, PA ? PC ? PB =
  0, CA ? PB = 0,∴ CA ⊥ PB, ∴ ∴
(
)
同理,AP ⊥ BC ,∴ P为?ABC的垂心,选C.

  10)如果执行右边的程序框图,输入 x = ?2, h =
  0.5 ,那么输出的各个数的合等于 (A)3 (B)
  3.5 (C) 4 (D)
  4.5 【解析】第 1 步:y=
  0,x=-
  1.
  5;第 2 步:y=
  0,x=-
  1;第 3 步:y=
  0, x=-
  0.
  5;第 4 步:y=
  0,x=
  0;第 5 步:y=
  0,x=
  0.
  5;第 6 步:y=
  0.
  5,x =
  1;第 7 步:y=
  1,x=
  1.
  5;第 8 步:y=
  1,x=
  2;第 9 步:y=
  1,退出循 环,输出各数和为:
  0.
  5+
  1+
  1+
  1=
  3.
  5,故选.B。 (
  11)一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位:c m )为 )一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位: (A)48+12 2 (B)48+24 2 (C)36+12 2 (D)36+24 2
2
【解析】棱锥的直观图如右,则有 PO=
  4,OD=
  3,由勾股定理,得 PD=
  5, AB=6 2 ,全面积为: 12 2 ,故选.A。
1 1 1 ×
  6×
  6+
  2× ×
  6×
  5+ ×6 2 ×
  4=
  48+ 2 2 2

  12)用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值 ) 表示
x 设 f(x)=min{ 2 , x+2,10-x} (x ≥
  0),则 f(x)的最大值为
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7 x 【解析】画出 y=2 ,y=x+
  2,y=
  10-x 的图象,如右图,观察图象可知,当
  0≤x≤2 时,f (x)=2x,当
  2≤x≤3 时,f(x)=x+
  2,当 x>4 时,f(x)=
  10-x,f(x)的最大值在 x =4 时取得为
  6,故选 C。. 第 II 卷 填空题; 小题, 二、填空题;本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (
  13)设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(
  1,
  0),直线 l 与抛物线 C 相交于 A,B 两 点。若 AB 的中点为(
  2,
  2) ,则直线 ι 的方程为. 解 析 : 抛 物 线 的 方 程 为 y2 = 4x ,
? y12 = 4 x1 ? A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , 则有x1 ≠ x
  2, 2 ? ? y2 = 4 x2 ?
2 两式相减得,y12 ? y2 = 4 ( x1 ? x2 ), ∴
y1 ? y2 4 = =1 x1 ? x2 y1 + y2
∴ 直线l的方程为y-2=x-2,即y=x
答案:y=x ( 的图像如图所示, 则 (
  14) 已知函数 y=sin ω x+ ? ) ω >0, - π ≤ ? < π ) ( 解析:由图可知, T =
? =
5π 4 ?4 ? ,∴ω = , 把 ( 2π ,
  1) 代入y=sin ? x + ? ? 有: 2 5 ?5 ?
9π ?8 ? 1=sin ? π + ? ? ,∴? = 10 ?5 ?
答案:
9π 10

  15)7 名志愿者中安排 6 人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排 3 人,则不同 的安排方案共有种(用数字作答) 。 解析: C7 C4 = 140 ,答案:140
3 3

  16)等差数列{ an }前 n 项和为 Sn 。已知 am ?1 + am +1 - a 解 析 : 由
2 m
=
  0, S 2 m ?1 =38,则 m= -
am ?1
+
am +1
a 2m
=0


2 2am ? am = 0, am = 0, 2又S 2 m ?1 =
( 2m ?
  1)( a1 + a2 m?1 ) =
2
( 2m ?
  1) am = 38 ∴ m = 10 。
答案 10 三、解答题:解答应写出说明文字,证明过程或演算步骤。

  17) (本小题满分 12 分) 为了测量两山顶 M,N 间的距离,飞机沿水平方向在 A,B 两点进行测量,A,B,M,N 在同 一个铅垂平面内(如示意图) ,飞机能够测量的数据有俯角和 A,B 间的距离,请设计一个方 案,包括:①指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出) ;②用文字和公式写出计算 M,N 间的距离的步骤。
(
  17) 解: 方案一:①需要测量的数据有:A 点到 M,N 点的俯角 α1 , β1 ;B 点到 M, N 的俯角 α 2 , β 2 ;A,B 的距离 d (如图) 所示) . ……….3 分
②第一步:计算 AM . 由正弦定理 AM =
d sin α 2 sin(α1 + α 2 )

第二步:计算 AN . 由正弦定理 AN = 第三步:计算 MN. 由余弦定理 MN = 方案二:①需要测量的数据有:
d sin β 2 sin( β 2 ? β1 )

AM 2 + AN 2 ? 2 AM × AN cos(α1 ? β1 ) .
A 点到 M,N 点的俯角 α1 , β1 ;B 点到 M,N 点的府角 α 2 , β 2 ;A,B 的距离 d (如 图所示). ②第一步:计算 BM . 由正弦定理 BM =
d sin α1 sin(α1 + α 2 )


第二步:计算 BN . 由正弦定理 BN =
d sin β1 sin( β 2 ? β1 )
w.w.w.k.s.
  5.u.c. o.m
第三步:计算 MN . 由余弦定理 MN =
BM 2 + BN 2 ? 2 BM × BN cos( β 2 + α 2 )

  18) (本小题满分 12 分) 某工厂有工人 1000 名, 其中 250 名工人参加过短期培训(称为 A 类工人) ,另外 750 名工人 参加过长期培训(称为 B 类工人) ,现用分层抽样方法(按 A 类、B 类分二层)从该工厂的工人 中共抽查 100 名工人,调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数) 。 (I)求甲、乙两工人都被抽到的概率,其中甲为 A 类工人,乙为 B 类工人; (II)从 A 类工人中的抽查结果和从 B 类工人中的抽插结果分别如下表 1 和表
  2.
w.w.w.k.s.
  5.u.c. o. m

  1: 生产能力分 组 人数 表
  2: 生产能力分组 人数 4 8
[100,110 )
[110,120 )
[120,130 )
x
[130,140 )
5
[140,150 )
3
[110,120 )
6
[120,130 )
y
[130,140 )
36
[140,150 )
18
(i)先确定 x,y,再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言,A 类工人中 个体间的差异程度与 B 类工人中个体间的差异程度哪个更小?(不用计算,可通过观察直方 图直接回答结论)
w.w.w.k.s.
  5.u. c.o. m
(ii)分别估计 A 类工人和 B 类工人生产能力的平均数,并估计该工厂工人的生产能力的平 均数,同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) (
  18) 解:
w.w.w.k.s.
  5. u.c. o.m
(Ⅰ)甲、乙被抽到的概率均为
1 ,且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到” 10
w.w.w.k.s.
  5.u .c. o.m
相互独立,故甲、乙两工人都被抽到的概率为
p=
1 1 1 × = . 10 10 100
(Ⅱ) (i)由题意知 A 类工人中应抽查 25 名,B 类工人中应抽查 75 名.

4 + 8 + x + 5 = 25 ,得 x = 5 ,
6 + y + 36 + 18 = 75 ,得 y = 15 .
频率分布直方图如下
从直方图可以判断:B 类工人中个体间的关异程度更小 . (ii) x A =
4 8 5 5 3 ×105 + × 115 + × 125 + × 135 + × 145 = 123 , 25 25 25 25 25 6 15 36 18 xB = × 115 + × 125 + × 135 + × 145 = 1
  33.8 , 75 75 75 75 25 75 x= × 123 + × 1
  33.8 = 1
  31.1 100 100
A 类工人生产能力的平均数, 类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力的 B 平均数的会计值分别为 1
  23,1
  33.8 和 1
  31.1 . (
  19) (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是地面边长的 2 倍,P 为侧棱 SD 上 的点。 (Ⅰ)求证:AC⊥SD; (Ⅱ)若 SD⊥平面 PAC,求二面角 P-AC-D 的大小 (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,侧棱 SC 上是否存在一点 E, 使得 BE∥平面 PAC。若存在,求 SE:EC 的值; 若不存在,试说明理由。 (
  19)解法一: (Ⅰ)连 BD,设 AC 交 BD 于 O,由题意 SO ⊥ AC 。在正方
w.w.w.k.s.
  5.u.c. o. m w.w.w.k.s.
  5.u.c. o.m
形 ABCD 中, AC ⊥ BD ,所以 AC ⊥ 平面SBD ,得 AC ⊥ SD . (Ⅱ)设正方形边长 a ,则 SD = 又 OD =
2a 。
2 a ,所以 ∠SOD = 600 , 2
连 OP ,由(Ⅰ)知 AC ⊥ 平面SBD ,所以 AC ⊥ OP ,
w.w.w.k.s.
  5.u. c.o. m
且 AC ⊥ OD ,所以 ∠POD 是二面角 P ? AC ? D 的平面角。 由 SD ⊥ 平面PAC ,知 SD ⊥ OP ,所以 ∠POD = 30 ,
0
即二面角 P ? AC ? D 的大小为 30 。
0
(Ⅲ)在棱 SC 上存在一点 E,使 BE // 平面PAC 由(Ⅱ)可得 PD =
2 a ,故可在 SP 上取一点 N ,使 PN = PD ,过 N 作 PC 的平行线 4
与 SC 的 交 点 即 为 E 。 连 BN 。 在 △ BDN 中 知 BN // PO , 又 由 于 NE // PC , 故 平 面
BEN // 平面PAC ,得 BE // 平面PAC ,由于 SN:NP =
  2: SE:EC =
  2: 1 ,故
  1.
解法二: (Ⅰ) ;连 BD ,设 AC 交于 BD 于 O ,由题意知 SO ⊥ 平面ABCD .以 O 为坐标原 点, OB, , 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向,建立坐标系 O ? xyz 如图。 OC OS 设底面边长为 a ,则高 SO =
6 a。 2
于是
S (0, 0,
6 2 a ), D (? a, 0,
  0) 2 2
C (0,
2 a,
  0) 2
w.w.w.k.s.
  5.u. c.o. m
OC = (0,
2 a,
  0) 2 2 6 a, 0, ? a) 2 2
SD = (?
OC ? SD = 0
故 从而
w.w.w.k.s.
  5.u. c.o. m
OC ⊥ SD AC ⊥ SD
(Ⅱ)由题设知,平面 PAC 的一个法向量 DS = (
2 6 a, 0, a ) ,平面 DAC 的一 2 2
个法向量 OS =)0, 0,
6 OS ? DS 3 = a ) ,设所求二面角为 θ ,则 cos θ = ,所求二面角的大 2 2 OS DS
小为 30
0
(Ⅲ)在棱 SC 上存在一点 E 使 BE // 平面PAC . 由(Ⅱ)知 DS 是平面 PAC 的一个法向量,

DS = (
2 6 2 6 a, 0, a ), CS = (0, ? a, a) 2 2 2 2
w.w.w.k. s.
  5.u .c. o.m

CE = tCS ,

BE = BC + CE = BC + tCS = (?
2 2 6 a, a (1 ? t ), at ) 2 2 2

BE ? DC = 0 ? t =
1 3
w.w.w.k.s.
  5.u. c.o. m
即当 SE : EC = 2 :1 时, BE ⊥ DS
而 BE 不在平面 PAC 内,故 BE // 平面PAC

  20) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点,焦点在 s 轴上,它的一个顶点到两个焦点的 距离分别是 7 和
  1. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若 P 为椭圆 C 上的动点,M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点, 轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。 (
  20)解: (Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为 a,c ,由已知得
w.w.w.k.s.
  5.u.c. o.m
OP OM
=λ,求点 M 的
?a ? c = 1 , 解得a = 4, c = 3 , ? ?a + c = 7
所以椭圆 C 的标准方程为
w.w.w.k.s.
  5. u.c. o.m
x2 y 2 + =1 16 7
w.w.w.k.s .
  5.u. c.o. m
(Ⅱ)设 M ( x, y ) ,其中 x ∈ [ ?4, 4] 。由已知
OP OM
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  北京交通大学招生办 解读 2011 年自主招生首先欢迎广大即将在 2011 年走入高考考场的考生提 前关注北京交通大学,为了使广大考生更好地理解我 校的自主招生,顺利完成报名以及今后的自主招生相 关工作, 在此向广大考生针对我校 2011 年的自主招生 政策做十项重点的解读。1、北京交通大学的自主招生选拔目标。高校的自主招生是部分高校根据本校办学目标和 专业特色,安排一定数量的招生计划,自主确定报名 条件、组织选拔测试和评价,按照事先公示的相关要 求,结合考生的高考成绩和综合评价结果等进行录取 ...

2010年九年级历史综合练习题

  2010 年九年级历史综合练习题一、单项选择题(每小题 2 分,计 40 分) 单项选择题 1、 “吾祖峻德,万古流芳;平定荒漠,举世称殇。……造车指南,辨兆万民不易之方向。 ” 这是 2005 年 5 月,台湾亲民党主席宋楚瑜拜谒何处时的祭文 A. 炎帝陵 B.黄帝陵 C.始皇陵 D.中山陵 2、小说《封神榜》中有关“炮烙之刑” “以酒为池” “悬肉为林”的描写,反映了统治者的 极度暴虐腐朽。这与哪位统治者有关? A.夏王桀 B.商王纣 C.周厉王 D.周幽王 3、汶川地震,瞬间山崩屋塌,然而 ...

走遍美国4

  第4课:broke; lame[流行美语]又和大家见面了。Michael和李华这两个大学生今天在 纽约的百老汇逛马路。那里戏院很多。李华看到一个 剧院在演歌 舞剧[音乐之声],于是她苦苦哀求Michael陪她去看。Michael 在学中 文。他喜欢李华跟他讲中文,可以让他练习听力。他在今天的对话 里会用到"broke"和“lame"这两个词。L: Michael,你看,这个剧院在演[音乐之声]!我一直想看这个歌 舞剧。M: I know, it's a popula ...

特殊教育的起源

  特殊教育的起源特殊教育 specialeducation 是根据特殊儿童的身心特点和教育需要,采用一 是根据特殊儿童的身心特点和教育需要,般或特殊的教学方法和手段,最大限度的发挥教育者的潜能,使他们增长知识, 般或特殊的教学方法和手段,最大限度的发挥教育者的潜能,使他们增长知识, 获得技能,拥有良好品德,提高适应能力的一种教育。 特殊教育学,方俊明, (特殊教育学 获得技能,拥有良好品德,提高适应能力的一种教育。 特殊教育学,方俊明, ( 人民教育出版社) 人民教育出版社)教育的目的和任务是:最 ...

体育分册

  中国部分 运动员进行曲的由来 1971 年,为了迎接在北京举行的亚洲乒乓球友好邀请赛,有关部门请中 国人民解放军军乐团创作一首《运动员进行曲》.不几天就有七八位同志分 别谱了一首《运动员进行曲》单旋律谱.经过一番评议,大家一致认为业余 创作员吴光锐写的主旋律比较好,但还需进一步加工.团领导决定派专业创 作员贾双和吴光锐一起完成这项光荣任务. 为了写好《运动员进行曲》,吴光锐多次和运动员交心,看他们的体育 比赛,翻阅有关体育资料,反复聆听国内外一些著名的进行曲.在体育馆, 当运动员英姿 ...