2011年普通高等学校招生全国统一模拟考试数学卷(海南.理)含详解



2011 年普通高等学校招生全国统一模拟考试(海南卷) 数学(理工农医类)
第I卷 一, 选择题: (本大题共 12 题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中 ,中有一项是符 合题目要求的。 (
  1) 已知集合 A = 1,3,5,7,9} , B = {0,3, 6,9,12} ,则 A I CN B = (A) (C)
{
{1,5, 7} {1,3,9} {
3 + 2i 3 ? 2i ? = 2 ? 3i 2 + 3i
(B)2
(B) (D)
{3,5, 7} {1, 2,3}
解析:易有 A ∩ CN B = 1,5, 7} ,选 A (
  2) 复数 (A)0 解析:
(C)-2i
(D)2
3 + 2i 3 ? 2i ( 3 + 2i )( 2 + 3i ) ( 3 ? 2i )( 2 ? 3i ) 26i ? = ? = = 2i ,选 D 2 ? 3i 2 + 3i 13 13 13

  3)对变量 x, y 有观测数据理力争( x1 , y1 ) (i=1,2,…,
  10) ,得散点图
  1;对变量 u ,v 有 观测数据( u1 , v1 ) (i=1,2,…,
  10),得散点图
  2. 由这两个散点图可以判断。
(A)变量 x 与 y 正相关,u 与 v 正相关 (B)变量 x 与 y 正相关,u 与 v 负相关 (C)变量 x 与 y 负相关,u 与 v 正相关 (D)变量 x 与 y 负相关,u 与 v 负相关 解析:由这两个散点图可以判断,变量 x 与 y 负相关,u 与 v 正相关,选 C
x2 y 2 (
  4)双曲线 =1 的焦点到渐近线的距离为 4 12
(A) 2 3 (B)2 (C) 3 (D)1
解析:双曲线
x2 y 2 =1 的焦点(4,
  0)到渐近线 y = 3 x 的距离为 d = 4 12
x 1 2 x + cos = 2 2 2

  3×4?0 2
= 2 3 ,选 A

  5)有四个关于三角函数的命题:
p1 : ? x∈ R, sin 2
p2 : ? x、y ∈ R, sin(x-y)=sinx-siny p4 : sinx=cosy ? x+y=
p3 : ? x ∈ [ 0, π ] ,
其中假命题的是 (A) p1 , p4
1 ? cos 2 x =sinx 2
π
2
(B) p2 , p4
2

  3) p1 , p3

  4) p2 , p4
解析: p1 : ? x ∈ R, sin
x 1 2 x + cos = 是假命题; p2 是真命题,如 x=y=0 时成立; p3 是真 2 2 2
命题,∵ ? x ∈ [ 0, π ] , sin x ≥
  0, ∴
1 ? cos 2 x = sin 2 x = sin x = sin x =sinx; p4 是假命题, 2
如x=
π
2
,y=2π 时,sinx=cosy,但x+y ≠
π
2
。选 A.
?2 x + y ≥ 4 ? (
  6)设 x,y 满足 ? x ? y ≥ ?1, 则z = x + y ?x ? 2 y ≤ 2 ?
(A)有最小值
  2,最大值 3 (C)有最大值
  3,无最小值 (B)有最小值
  2,无最大值 (D)既无最小值,也无最大值
解析:画出可行域可知,当 z = x + y 过点(
  2,
  0)时, zmin = 2 ,但无最大值。选 B. (
  7)等比数列 {an } 的前 n 项和为 sn ,且 4 a1 ,2 a2 , a3 成等差数列。若 a1 =
  1,则 s4 = (A)7 (B)8 解 析 : (
  3)15 (
  4)16

4
a1

2
a2

a3






∴ 4a1 + a3 = 4a2 , 即4a1 + a1q 2 = 4a1q,∴ q 2 ? 4q + 4 = 0,∴ q =
  2,S4 = 15 ,选 C.

  8) 如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱线长为
  1,线段 B1 D1 上有 两个动点 E,F,且 EF = (A) AC ⊥ BE (B) EF / / 平面ABCD (C)三棱锥 A ? BEF 的体积为定值
2 ,则下列结论中错误的是 2
(D)异面直线 AE , BF 所成的角为定值 解 析 : A 正 确 , 易 证 AC ⊥ 平面D1 DBB
  1,从而AC ⊥ BE ; B 显 然 正 确 ,
∵ EF / / BD,∴ EF / / 平面ABCD易证 ;C 正确,可用等积法求得;D 错误。选 D.

  9)已知 O,N,P 在 ?ABC 所在平面内,且 OA = OB = OC , NA + NB + NC = 0 ,且
PA ? PB = PB ? PC = PC ? PA ,则点 O,N,P 依次是 ?ABC 的
(A)重心 外心 垂心 (B)重心 外心 内心 (C)外心 重心 垂心 (D)外心 重心 内心 (注:三角形的三条高线交于一点,此点为三角型的垂心) 解 析

由 OA = OB = OC 知, O为?ABC的外心; NA + NB + NC = 0知,O为?ABC的重心 ; 由
∵ PA ? PB = PB ? PC, PA ? PC ? PB =
  0, CA ? PB = 0,∴ CA ⊥ PB, ∴ ∴
(
)
同理,AP ⊥ BC ,∴ P为?ABC的垂心,选C.

  10)如果执行右边的程序框图,输入 x = ?2, h =
  0.5 ,那么输出的各个数的合等于 (A)3 (B)
  3.5 (C) 4 (D)
  4.5 【解析】第 1 步:y=
  0,x=-
  1.
  5;第 2 步:y=
  0,x=-
  1;第 3 步:y=
  0, x=-
  0.
  5;第 4 步:y=
  0,x=
  0;第 5 步:y=
  0,x=
  0.
  5;第 6 步:y=
  0.
  5,x =
  1;第 7 步:y=
  1,x=
  1.
  5;第 8 步:y=
  1,x=
  2;第 9 步:y=
  1,退出循 环,输出各数和为:
  0.
  5+
  1+
  1+
  1=
  3.
  5,故选.B。 (
  11)一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位:c m )为 )一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位: (A)48+12 2 (B)48+24 2 (C)36+12 2 (D)36+24 2
2
【解析】棱锥的直观图如右,则有 PO=
  4,OD=
  3,由勾股定理,得 PD=
  5, AB=6 2 ,全面积为: 12 2 ,故选.A。
1 1 1 ×
  6×
  6+
  2× ×
  6×
  5+ ×6 2 ×
  4=
  48+ 2 2 2

  12)用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值 ) 表示
x 设 f(x)=min{ 2 , x+2,10-x} (x ≥
  0),则 f(x)的最大值为
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7 x 【解析】画出 y=2 ,y=x+
  2,y=
  10-x 的图象,如右图,观察图象可知,当
  0≤x≤2 时,f (x)=2x,当
  2≤x≤3 时,f(x)=x+
  2,当 x>4 时,f(x)=
  10-x,f(x)的最大值在 x =4 时取得为
  6,故选 C。. 第 II 卷 填空题; 小题, 二、填空题;本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (
  13)设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(
  1,
  0),直线 l 与抛物线 C 相交于 A,B 两 点。若 AB 的中点为(
  2,
  2) ,则直线 ι 的方程为. 解 析 : 抛 物 线 的 方 程 为 y2 = 4x ,
? y12 = 4 x1 ? A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , 则有x1 ≠ x
  2, 2 ? ? y2 = 4 x2 ?
2 两式相减得,y12 ? y2 = 4 ( x1 ? x2 ), ∴
y1 ? y2 4 = =1 x1 ? x2 y1 + y2
∴ 直线l的方程为y-2=x-2,即y=x
答案:y=x ( 的图像如图所示, 则 (
  14) 已知函数 y=sin ω x+ ? ) ω >0, - π ≤ ? < π ) ( 解析:由图可知, T =
? =
5π 4 ?4 ? ,∴ω = , 把 ( 2π ,
  1) 代入y=sin ? x + ? ? 有: 2 5 ?5 ?
9π ?8 ? 1=sin ? π + ? ? ,∴? = 10 ?5 ?
答案:
9π 10

  15)7 名志愿者中安排 6 人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排 3 人,则不同 的安排方案共有种(用数字作答) 。 解析: C7 C4 = 140 ,答案:140
3 3

  16)等差数列{ an }前 n 项和为 Sn 。已知 am ?1 + am +1 - a 解 析 : 由
2 m
=
  0, S 2 m ?1 =38,则 m= -
am ?1
+
am +1
a 2m
=0


2 2am ? am = 0, am = 0, 2又S 2 m ?1 =
( 2m ?
  1)( a1 + a2 m?1 ) =
2
( 2m ?
  1) am = 38 ∴ m = 10 。
答案 10 三、解答题:解答应写出说明文字,证明过程或演算步骤。

  17) (本小题满分 12 分) 为了测量两山顶 M,N 间的距离,飞机沿水平方向在 A,B 两点进行测量,A,B,M,N 在同 一个铅垂平面内(如示意图) ,飞机能够测量的数据有俯角和 A,B 间的距离,请设计一个方 案,包括:①指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出) ;②用文字和公式写出计算 M,N 间的距离的步骤。
(
  17) 解: 方案一:①需要测量的数据有:A 点到 M,N 点的俯角 α1 , β1 ;B 点到 M, N 的俯角 α 2 , β 2 ;A,B 的距离 d (如图) 所示) . ……….3 分
②第一步:计算 AM . 由正弦定理 AM =
d sin α 2 sin(α1 + α 2 )

第二步:计算 AN . 由正弦定理 AN = 第三步:计算 MN. 由余弦定理 MN = 方案二:①需要测量的数据有:
d sin β 2 sin( β 2 ? β1 )

AM 2 + AN 2 ? 2 AM × AN cos(α1 ? β1 ) .
A 点到 M,N 点的俯角 α1 , β1 ;B 点到 M,N 点的府角 α 2 , β 2 ;A,B 的距离 d (如 图所示). ②第一步:计算 BM . 由正弦定理 BM =
d sin α1 sin(α1 + α 2 )


第二步:计算 BN . 由正弦定理 BN =
d sin β1 sin( β 2 ? β1 )
w.w.w.k.s.
  5.u.c. o.m
第三步:计算 MN . 由余弦定理 MN =
BM 2 + BN 2 ? 2 BM × BN cos( β 2 + α 2 )

  18) (本小题满分 12 分) 某工厂有工人 1000 名, 其中 250 名工人参加过短期培训(称为 A 类工人) ,另外 750 名工人 参加过长期培训(称为 B 类工人) ,现用分层抽样方法(按 A 类、B 类分二层)从该工厂的工人 中共抽查 100 名工人,调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数) 。 (I)求甲、乙两工人都被抽到的概率,其中甲为 A 类工人,乙为 B 类工人; (II)从 A 类工人中的抽查结果和从 B 类工人中的抽插结果分别如下表 1 和表
  2.
w.w.w.k.s.
  5.u.c. o. m

  1: 生产能力分 组 人数 表
  2: 生产能力分组 人数 4 8
[100,110 )
[110,120 )
[120,130 )
x
[130,140 )
5
[140,150 )
3
[110,120 )
6
[120,130 )
y
[130,140 )
36
[140,150 )
18
(i)先确定 x,y,再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言,A 类工人中 个体间的差异程度与 B 类工人中个体间的差异程度哪个更小?(不用计算,可通过观察直方 图直接回答结论)
w.w.w.k.s.
  5.u. c.o. m
(ii)分别估计 A 类工人和 B 类工人生产能力的平均数,并估计该工厂工人的生产能力的平 均数,同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) (
  18) 解:
w.w.w.k.s.
  5. u.c. o.m
(Ⅰ)甲、乙被抽到的概率均为
1 ,且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到” 10
w.w.w.k.s.
  5.u .c. o.m
相互独立,故甲、乙两工人都被抽到的概率为
p=
1 1 1 × = . 10 10 100
(Ⅱ) (i)由题意知 A 类工人中应抽查 25 名,B 类工人中应抽查 75 名.

4 + 8 + x + 5 = 25 ,得 x = 5 ,
6 + y + 36 + 18 = 75 ,得 y = 15 .
频率分布直方图如下
从直方图可以判断:B 类工人中个体间的关异程度更小 . (ii) x A =
4 8 5 5 3 ×105 + × 115 + × 125 + × 135 + × 145 = 123 , 25 25 25 25 25 6 15 36 18 xB = × 115 + × 125 + × 135 + × 145 = 1
  33.8 , 75 75 75 75 25 75 x= × 123 + × 1
  33.8 = 1
  31.1 100 100
A 类工人生产能力的平均数, 类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力的 B 平均数的会计值分别为 1
  23,1
  33.8 和 1
  31.1 . (
  19) (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是地面边长的 2 倍,P 为侧棱 SD 上 的点。 (Ⅰ)求证:AC⊥SD; (Ⅱ)若 SD⊥平面 PAC,求二面角 P-AC-D 的大小 (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,侧棱 SC 上是否存在一点 E, 使得 BE∥平面 PAC。若存在,求 SE:EC 的值; 若不存在,试说明理由。 (
  19)解法一: (Ⅰ)连 BD,设 AC 交 BD 于 O,由题意 SO ⊥ AC 。在正方
w.w.w.k.s.
  5.u.c. o. m w.w.w.k.s.
  5.u.c. o.m
形 ABCD 中, AC ⊥ BD ,所以 AC ⊥ 平面SBD ,得 AC ⊥ SD . (Ⅱ)设正方形边长 a ,则 SD = 又 OD =
2a 。
2 a ,所以 ∠SOD = 600 , 2
连 OP ,由(Ⅰ)知 AC ⊥ 平面SBD ,所以 AC ⊥ OP ,
w.w.w.k.s.
  5.u. c.o. m
且 AC ⊥ OD ,所以 ∠POD 是二面角 P ? AC ? D 的平面角。 由 SD ⊥ 平面PAC ,知 SD ⊥ OP ,所以 ∠POD = 30 ,
0
即二面角 P ? AC ? D 的大小为 30 。
0
(Ⅲ)在棱 SC 上存在一点 E,使 BE // 平面PAC 由(Ⅱ)可得 PD =
2 a ,故可在 SP 上取一点 N ,使 PN = PD ,过 N 作 PC 的平行线 4
与 SC 的 交 点 即 为 E 。 连 BN 。 在 △ BDN 中 知 BN // PO , 又 由 于 NE // PC , 故 平 面
BEN // 平面PAC ,得 BE // 平面PAC ,由于 SN:NP =
  2: SE:EC =
  2: 1 ,故
  1.
解法二: (Ⅰ) ;连 BD ,设 AC 交于 BD 于 O ,由题意知 SO ⊥ 平面ABCD .以 O 为坐标原 点, OB, , 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向,建立坐标系 O ? xyz 如图。 OC OS 设底面边长为 a ,则高 SO =
6 a。 2
于是
S (0, 0,
6 2 a ), D (? a, 0,
  0) 2 2
C (0,
2 a,
  0) 2
w.w.w.k.s.
  5.u. c.o. m
OC = (0,
2 a,
  0) 2 2 6 a, 0, ? a) 2 2
SD = (?
OC ? SD = 0
故 从而
w.w.w.k.s.
  5.u. c.o. m
OC ⊥ SD AC ⊥ SD
(Ⅱ)由题设知,平面 PAC 的一个法向量 DS = (
2 6 a, 0, a ) ,平面 DAC 的一 2 2
个法向量 OS =)0, 0,
6 OS ? DS 3 = a ) ,设所求二面角为 θ ,则 cos θ = ,所求二面角的大 2 2 OS DS
小为 30
0
(Ⅲ)在棱 SC 上存在一点 E 使 BE // 平面PAC . 由(Ⅱ)知 DS 是平面 PAC 的一个法向量,

DS = (
2 6 2 6 a, 0, a ), CS = (0, ? a, a) 2 2 2 2
w.w.w.k. s.
  5.u .c. o.m

CE = tCS ,

BE = BC + CE = BC + tCS = (?
2 2 6 a, a (1 ? t ), at ) 2 2 2

BE ? DC = 0 ? t =
1 3
w.w.w.k.s.
  5.u. c.o. m
即当 SE : EC = 2 :1 时, BE ⊥ DS
而 BE 不在平面 PAC 内,故 BE // 平面PAC

  20) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点,焦点在 s 轴上,它的一个顶点到两个焦点的 距离分别是 7 和
  1. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若 P 为椭圆 C 上的动点,M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点, 轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。 (
  20)解: (Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为 a,c ,由已知得
w.w.w.k.s.
  5.u.c. o.m
OP OM
=λ,求点 M 的
?a ? c = 1 , 解得a = 4, c = 3 , ? ?a + c = 7
所以椭圆 C 的标准方程为
w.w.w.k.s.
  5. u.c. o.m
x2 y 2 + =1 16 7
w.w.w.k.s .
  5.u. c.o. m
(Ⅱ)设 M ( x, y ) ,其中 x ∈ [ ?4, 4] 。由已知
OP OM
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  在线翻译学院论英语翻译对翻译者的要求有人认为翻译是两种不同语言的转换变形: 有人认为翻译是两种文化系统的碰撞 与交融。美国著名的翻译理论家 Eugene A.Nida 认为“所谓翻译,是从语义到文 体风格在译语中最切近而又最自然的对等语再现原文的信息。”人们对翻译的不 同理解和看法,导致了对翻译标准的提法有所不同。例如,我们唐代玄奘的“既 须求真,又须喻俗”,清代严复的“信”、“达”、“雅”,“五四”时期鲁迅的“信、顺”, Alexander Fraser Tytler 的“翻译三原则”,Eug ...

多元文化背景下的幼儿美术课程研究

  Z TYJ 专题研究多元文化背是下的幼儿美术课程研究多元文化背景下的幼儿美术课程研究江苏省吴江市鲈乡实验幼儿园 吴 洪一、 多元文化背景下的幼儿美术课程资源 教师自身要树立多元文化教育的观念,了解 世界主流文化的内涵和特点,对不同的文化持有 积极和包容的心态,才能在教育活动中体现多元 文化的特色。我们选择美术课程资源的原则是:立 足民族, 面向世界, 关注时代发展潮流。幼儿学习多元文化的积极态度,养成多角度思考 解决问题的思路和习惯。世界经典艺术的选 问题、 择主要根据幼儿的兴趣、 经验和接受能 ...

中学生必读书目

  教育部《大纲》指定中学生课外文学名著必读书目《中学生必读书目》 一,初高中共读部分:(10 种) ①《西游记》(明)吴承恩著; ②《水浒传》 (明)施耐庵,罗贯中著; ③《三国演义》 (明)罗贯中著; ④《红楼梦》 (清)曹雪芹,高鄂著; ⑤《唐诗三百首》 (清)衡塘退士选编; ⑥《宋词选》胡云翼选注; ⑦《阿 Q 正传》鲁迅著; ⑧《古代散文选》人民教育出版社编; ⑨《科学的历程》吴国盛著; ⑩《数理化通俗演义》梁衡著. 二,初中必读部份: (15 种) 初一年级: ①《红岩》罗广斌,扬益言著 ...

经典电影

  猫(550):@@@动漫类@@@柯南剧场版 (1997引爆摩天大楼 2001朝向天国的倒数记时 1998第十四个的目标 2002贝克街的亡灵 1999世纪末的魔术师 2003迷宫的十字路口)2001瞳孔中的暗杀者 2007绀碧之棺十一部 深蓝的海盗旗宫崎 骏 (1988龙猫 1992红猪 1997幽灵公主 2001千与千寻 2004哈尔的移动城堡)^^城市猎人全+ova^ ^猫和老鼠262集^^天空战绩全^ ^NANA全50集+SP+Poster^^皇家国教骑士团^ ^12国记45集^ ^太空堡 ...

作文教案:细节描写

  他(她)是谁? 是谁?作家笔下的人物: 作家笔下的人物: ⒈ 过了十多天,或者一个月罢,我还记得,是她告假 回家以后的四五天,她穿着新的蓝布衫回来了,一见面,就 将一包书递给我,高兴地说道:??“哥儿,有画儿的‘三 哼经’, 我给你买来了!” ⒉往常他坐在登三轮的座上,或抱着冰伛着身子进我家 来,不显得那么高。也许他平时不那么瘦,也不那么直僵僵 的。他面色死灰,两只眼上都结着一层翳,分不清哪一只瞎、 哪一只不瞎。说得可笑些,他简直像棺材里倒出来的,就像 我想像里的僵尸,骷髅上绷着一层枯黄的干皮, ...